Question

20．如圖，在圓錐PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，⊙O 的直徑AB=2，C是弧$\widehat{AB}$的中點，D為AC的中點．
（1）證明：AC⊥平面POD；
（2）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OC，推導出AC⊥OD，AC⊥PO，由此能證明AC⊥平面POD，
（2）以O為坐標原點，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)OC，因為OA=OC，D是AC的中點，∴AC⊥OD，
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO，
因為OD，PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，
所以AC⊥平面POD，
解：（2）如圖所示，以O為坐標原點，OB、OC、OP所在直線分別為x軸、y軸，z軸，
建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），
C（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），D（-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），
設$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PAC的一個法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，1$）．
又因為y軸⊥平面PAB，
所以平面PAB的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{m}$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由圖可知，二面角B-PA-C的平面角與θ相等，
所以二面角B-PA-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．