Question

【題目】各項均為非負整數(shù)的數(shù)列同時滿足下列條件：

① ；② ；③是的因數(shù)（）．

（Ⅰ）當時，寫出數(shù)列的前五項；

（Ⅱ）若數(shù)列的前三項互不相等，且時， 為常數(shù)，求的值；

（Ⅲ）求證：對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得時， 為常數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）5，1，0，2，2. （2）的值為.（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得 而2是的因數(shù)，所以 ，依次求出后三項，（2）由前三項互不相等，可分類討論： 這四種情況即可，（3）令，則為正整數(shù)，易得為單調遞減數(shù)列（可相等），當首項確定時，當時，必有成立.而當成立時，可得常數(shù).

試題解析：解：（Ⅰ）5，1，0，2，2.

（Ⅱ）因為，所以，

又數(shù)列的前3項互不相等，

（1）當時，

若，則，

且對， 都為整數(shù)，所以；

若，則，

且對， 都為整數(shù)，所以；

（2）當時，

若，則，且對， 都為整數(shù)，所以，不符合題意；

若，則，

且對， 都為整數(shù)，所以；

綜上， 的值為.

（Ⅲ）對于，令，

則.

又對每一個， 都為正整數(shù)，所以 ，其中“”至多出現(xiàn)個.故存在正整數(shù)，當時，必有成立.

當時，則.

從而.

由題設知，又及均為整數(shù)，

所以 ，故常數(shù).

從而常數(shù).

故存在正整數(shù)，使得時， 為常數(shù).