Question

18．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x$，
（1）求f（x）的值域；
（2）說明怎樣由y=sinx的圖象得到f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求值域．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+{sin^2}x-{cos^2}x$
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴由sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，可得：f（x）∈[-2，2]．
（2）把y=sinx的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位，可得函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把所得圖象上的點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，縱坐標不變，可得函數(shù)y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象；
再所得圖象上的點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標不變，可得函數(shù)y=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象；

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．