Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時，．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）先求函數(shù)定義域，由導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；

（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的單調(diào)性可得lnx＜x﹣1；設(shè)F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出單調(diào)性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；

（1）由題設(shè)，的定義域為，

，令，解得．

當(dāng)時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減．

（2）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時，，即為lnx＜x﹣1＜xlnx．

由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）遞減，

可得f（x）＜f（1）＝0，即有lnx＜x﹣1；

設(shè)F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，

當(dāng)x＞1時，F′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）＝0，

即有xlnx＞x﹣1，則原不等式成立；