Question

設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)．
（1）求的值，并證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)是R上的增函數(shù)；
（2）已知，函數(shù)，，求的值域；
（3）若，試問是否存在正整數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，請(qǐng)求出所有的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）如下（2）（3）存在正整數(shù)=3或4

試題分析：解：（1）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，，得．
此時(shí)，，，即是R上的奇函數(shù)．
設(shè)，則，
，，，在R上為增函數(shù)．
（2），即，或（舍去），
 
令，由（1）知在[1，2]上為增函數(shù)，∴，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值，
∴的值域．
（3）=，，
假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)，則，
①當(dāng)時(shí)，．
②當(dāng)時(shí)，，則，令，則，易證在上是增函數(shù)，∴．
③當(dāng)時(shí)，，則，令，則，易證在上是減函數(shù)，∴．
綜上所述，，∵是正整數(shù)，∴=3或4．
∴存在正整數(shù)=3或4，使得對(duì)恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大。函數(shù)的單調(diào)性對(duì)求最值、判斷函數(shù)值大小關(guān)系和證明不等式都有較大幫助，而求函數(shù)的單調(diào)性有時(shí)可以結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求。