Question

15．已知數(shù)列{a_n}的遞推公式為：a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$．
（1）是否存在a₁，使得數(shù)列{a_n}是常數(shù)列．
（2）證明：數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，并求其周期；
（3）若a₁=2，求a₂₀₁₄與S₂₀₁₄的值．

Answer 1

分析 （1）假設(shè)存在a₁使得數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，解方程a₁=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$即可；
（2）通過(guò)a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$計(jì)算出前幾項(xiàng)的值即得結(jié)論；
（3）通過(guò)a₁=2及（2）可知a₂=-1，a₃=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而a₁•a₂•a₃=-1，利用2014=671×3+1計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （1）解：不存在a₁，使得數(shù)列{a_n}是常數(shù)列．
理由如下：
假設(shè)存在a₁，使得數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，
則a₁=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，
化簡(jiǎn)得：${{a}_{1}}^{2}$-a₁+1=0，
顯然該方程無(wú)解，
∴不存在a₁，使得數(shù)列{a_n}是常數(shù)列；
（2）證明：依題意，a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{1-{a}_{1}}}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}$，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}}$=a₁，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的周期數(shù)列；
（3）解：若a₁=2，由（2）可知a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=-1，a₃=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴a₁•a₂•a₃=2•（-1）•$\frac{1}{2}$=-1，
∵2014=671×3+1，
∴a₂₀₁₄=a₁=2，S₂₀₁₄=（-1）⁶⁷¹•（-2）=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．