解:(1)∵a
1=2,a
n-a
n-1-2n=0(n≥2,n∈N)∴a
2=6,a
3=12(2分)
當(dāng)n≥2時(shí),a
n-a
n-1=2n,a
n-1-a
n-2=2(n-1),…,a
3-a
2=2×3,a
2-a
1=2×2,
∴a
n-a
1=2[n+(n-1)+…+3+2],
∴
(5分)
當(dāng)n=1時(shí),a
1=1×(1+1)=2也滿足上式,
∴數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式為a
n=n(n+1)(6分)
(2)
=
=
(8分)
令
,則
,當(dāng)x≥1時(shí),f'(x)>0恒成立
∴f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數(shù),故當(dāng)x=1時(shí),f(x)
min=f(1)=3
即當(dāng)n=1時(shí),
(11分)
要使對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),不等式
恒成立,
則須使
,
即t
2-2mt>0,
對(duì)?m∈[-1,1]恒成立,
∴
,
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞)(14分)
分析:(1)由題設(shè)知a
2=6,a
3=12,a
n-a
n-1=2n,a
n-1-a
n-2=2(n-1),…,a
3-a
2=2×3,a
2-a
1=2×2,所以a
n-a
1=2[n+(n-1)+…+3+2],由此可知數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式為a
n=n(n+1).
(2)由題設(shè)條件可推出
=
,令
,則
,當(dāng)x≥1時(shí),f'(x)>0恒成立,f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數(shù),故f(x)
min=f(1)=3,
,
要使對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),不等式
恒成立,則須使
,即t
2-2mt>0,對(duì)?m∈[-1,1]恒成立,由此可知實(shí)數(shù)t的取值范圍.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意公式的靈活運(yùn)用.