Question

如圖，將圓分成n個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為a_n.

（1）         ；

（2）         .

 

Answer 1

【答案】

（1）18；（2）.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)三種不同顏色分別為甲、乙、丙三種.時(shí)，第1區(qū)域有3種選擇， 第2區(qū)域有2種選擇，第3區(qū)域有2種選擇，因?yàn)榈?區(qū)域要與第1區(qū)域顏色不同，故對(duì)第3區(qū)域的選擇分類(lèi)討論：當(dāng)?shù)?區(qū)域與第1區(qū)域顏色相同時(shí)，第4區(qū)域有2種選擇；當(dāng)?shù)?區(qū)域與第1區(qū)域顏色不同時(shí)，第4區(qū)域僅有1種選擇.所以；（2）當(dāng)將圓分成n個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色時(shí)，第1區(qū)域有3種染色方案，第2區(qū)域至第區(qū)域有2種染色方案.此時(shí)考慮第區(qū)域也有2種涂色方案，在此情況下有兩種情況：

情況一：第區(qū)域與第1區(qū)域同色,此時(shí)相當(dāng)將這兩區(qū)域重合，這時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為3種不同顏色給圓上個(gè)區(qū)域涂色,即為種染色方案；

情況二：第區(qū)域與第1區(qū)域不同色,此時(shí)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為用3種不同顏色給圓上個(gè)區(qū)域染色,且相鄰區(qū)域顏色互異，即此時(shí)的情況就是.根據(jù)分類(lèi)原理可知，且滿足初始條件：.

即遞推公式為，由變形得，所以數(shù)列是以-1為公比的等比數(shù)列.所以，即.當(dāng)時(shí)，易知有3種染色方法，即，不滿足上述通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，易知有種染色方法，即，滿足上述通項(xiàng)公式；當(dāng)時(shí)，易知有種染色方法，即，滿足上述通項(xiàng)公式.

綜上所述，.

考點(diǎn)：數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式、排列組合