精英家教網(wǎng)如圖,將圓分成n個區(qū)域,用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色,要求相鄰區(qū)域顏色互異,把不同的染色方法種數(shù)記為an.求
(Ⅰ)a1,a2,a3,a4;
(Ⅱ)an與an+1(n≥2)的關(guān)系式;
(Ⅲ)數(shù)列{an}的通項公式an,并證明an≥2n(n∈N*).
分析:(Ⅰ)直接求出n=1時a1,n=2時a2,n=3時a3,n=4時a4;的值;
(Ⅱ)依次對扇形區(qū)域染色求出an然后說明它與an+1(n≥2)的關(guān)系式;
(Ⅲ)通過an與an+1(n≥2)的關(guān)系式;令n=1,2,3,4,…n時寫出關(guān)系式,利用累加法求出數(shù)列{an}的通項公式an
要證明an≥2n(n∈N*)需要已知n=1,n=2,n=3時成立,然后利用二項式定理證明表達(dá)式成立即可..
解答:解:(Ⅰ) 當(dāng)n=1時,不同的染色方法種數(shù)a1=3,
當(dāng)n=2時,不同的染色方法種數(shù)a2=6,
當(dāng)n=3時,不同的染色方法種數(shù)a3=6,
當(dāng)n=4時,分扇形區(qū)域1,3同色與異色兩種情形
∴不同的染色方法種數(shù)a4=3×1×2×2+3×2×1×1=18.
(Ⅱ)依次對扇形區(qū)域1,2,3,…n,n+1染色,不同的染色方法種數(shù)為3×2n,其中扇形區(qū)域1與n+1不同色的有an+1種,扇形區(qū)域1與n+1同色的有an
∴an+an+1=3×2n(n≥2)
(Ⅲ)∵an+an+1=3×2n(n≥2)
∴a2+a3=3×22
a3+a4=3×23

an-1+an=3×2n-1將上述n-2個等式兩邊分別乘以(-1)k(k=2,3…n-1),再相加,得
a2+(-1)n-1an=3×22-3×23+…+3×(-1)k×2n-1=
22[1-(-2)n-1
1-(-2)
,
∴an=2n+2•(-1)n從而an=
3               n=1
2n+2•(-1)n
n≥2

(Ⅲ)證明:當(dāng)n=1時,a1=3>2×1
當(dāng)n=2時,a2=6>2×2,
當(dāng)n≥3時,
an=2n+2•(-1)n=(1+1)n+2•(-1)n
=1+n+C2n+C3n+…+Cn-2n+n+1+2•(-1)n
≥2n+2+2(-1)n≥2n,
故an≥2n(n∈N*).
點評:本題是中檔題,考查排列組合的應(yīng)用,數(shù)列與不等式的故選的應(yīng)用,數(shù)列的求和的基本方法,二項式定理的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,計算能力,難度較大.
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如圖,將圓分成n個區(qū)域,用3種不同顏色給每個區(qū)域染色,要求相鄰區(qū)域顏色互異,把不同的染色方法種數(shù)記為an
(1)求a1,a2,a3,a4
(2)求證:an+an+1=3×2n(n≥2);
(3)求數(shù)列{an}的通項公式.

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精英家教網(wǎng)如圖,將圓分成n個區(qū)域,用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色,要求相鄰區(qū)域顏色互異,把不同的染色方法種數(shù)記為an
(1)a4=
 

(2)an=
 

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如圖,將圓分成n個區(qū)域,用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色,要求相鄰區(qū)域顏色互異,把不同的染色方法種數(shù)記為an.

(1)         ;

(2)         .

 

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如圖,將圓分成n個區(qū)域,用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色,要求相鄰區(qū)域顏色互異,把不同的染色方法種數(shù)記為an.求
(Ⅰ)a1,a2,a3,a4
(Ⅱ)an與an+1(n≥2)的關(guān)系式;
(Ⅲ)數(shù)列{an}的通項公式an,并證明an≥2n(n∈N*).
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