Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=．
（Ⅰ） 證明：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（Ⅱ） 求三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由四棱柱的性質(zhì)可得四邊形BB₁D₁D為平行四邊形，故有BD和B₁D₁平行且相等，可得 BD∥平面CB₁D₁．同理可證，A₁B∥平面CB₁D₁．而BD和A₁B是平面A₁BD內(nèi)的兩條相交直線，利用兩個(gè)平面平行的判定定理可得平面A₁BD∥平面CD₁B₁ ．
（Ⅱ） 由題意可得A₁O為三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高，由勾股定理可得A₁O= 的值，再根據(jù)三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積V=S_△ABD•A₁O，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=，
由棱柱的性質(zhì)可得BB₁ 和DD₁平行且相等，故四邊形BB₁D₁D為平行四邊形，故有BD和B₁D₁平行且相等．
而BD不在平面CB₁D₁內(nèi)，而B₁D₁在平面CB₁D₁內(nèi)，∴BD∥平面CB₁D₁．
同理可證，A₁BCD₁為平行四邊形，A₁B∥平面CB₁D₁．
而BD和A₁B是平面A₁BD內(nèi)的兩條相交直線，故有平面A₁BD∥平面CD₁B₁ ．
（Ⅱ） 由題意可得A₁O為三棱柱ABD-A₁B₁D₁的高．三角形A₁AO中，由勾股定理可得A₁O===1，
∴三棱柱ABD-A₁B₁D₁的體積V=S_△ABD•A₁O=•A₁O=×1=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查棱柱的性質(zhì)，兩個(gè)平面平行的判定定理的應(yīng)用，求三棱柱的體積，屬于中檔題．