Question

（2013•鹽城一模）已知f(x)=(2+

x

)n，其中n∈N^*．
（1）若展開(kāi)式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為14，求n的值；
（2）當(dāng)x=3時(shí)，求證：f（x）必可表示成

s

+

s-1

（s∈N^*）的形式．

Answer 1

分析：（1）在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得含x³的項(xiàng)，再根據(jù)展開(kāi)式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為14，求n的值．
（2）當(dāng)x=3時(shí)，求得f（x）的解析式，由于若 (2+

3

)n=

a

+

b

，a、b∈N^*，則(2-

3

)n=

a

-

b

．再由 （

a

+

b

）（

a

-

b

）=1，令 a=s，s∈N^*，則必有 b=s-1，從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•2^n-r•x

r

2

，
令

r

2

=3，解得r=6，展開(kāi)式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為

C

6 n

•2^n-6=14，解得 n=7．
（2）當(dāng)x=3時(shí)，f（x）=(2+

3

)n=

C

0 n

•2ⁿ•(

3

)0+

C

1 n

• 2n-1 •(

3

) 1+

C

2 n

• 2n-2 •(

3

) 2
+…+

C

n n

• 2n-n •(

3

) n．
設(shè)(2+

3

)n=x+

3

y=

x2

+

3y2

，由于 (2+

3

)n=

a

+

b

，a、b∈N^*，
則(2-

3

)n=

a

-

b

． …（7分）
∵（

a

+

b

）（

a

-

b

）=(2+

3

)n•(2-

3

)n=1，
∴令 a=s，s∈N^*，則必有 b=s-1，…（9分）
∴(2+

3

)n必可表示成

s

 +

s-1

 的形式，其中 s∈N^*． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．