Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，通過(guò)點(diǎn)（2，-2）且平行于向量$\overrightarrow{a}$=（3，-4）的直線(xiàn)l與圓x²+y²=r²（r＞0）交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若圓上一點(diǎn)C滿(mǎn)足3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則△OAB的面積等于$\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以求出直線(xiàn)l的方程為$y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$，可聯(lián)立圓的方程并且消去y得到25x²-16x+4-9r²=0，可設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y）．根據(jù)$3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$可得出$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3{x}_{1}+5{x}_{2}}{4}}\\{y=-\frac{3{y}_{1}+5{y}_{2}}{4}}\end{array}\right.$，根據(jù)x²+y²=r²，這樣可消去x，y，而根據(jù)韋達(dá)定理便可得到關(guān)于r²的方程，這樣可解出r²，然后可求點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離，以及根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|AB|，從而便可得出△OAB的面積．

解答 解：根據(jù)條件知直線(xiàn)l的斜率為$-\frac{4}{3}$，則直線(xiàn)l的方程為：
$y+2=-\frac{4}{3}（x-2）$，即：$y=-\frac{4}{3}x+\frac{2}{3}$，聯(lián)立圓的方程并消去y得：25x²-16x+4-9r²=0（1）；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），則：
3（x₁，y₁）+5（x₂，y₂）+4（x，y）=（0，0）；
$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3{x}_{1}+5{x}_{2}}{4}}\\{y=-\frac{3{y}_{1}+5{y}_{2}}{4}}\end{array}\right.$；
x²+y²=r²；
∴$（\frac{3{x}_{1}+5{x}_{2}}{4}）^{2}+（\frac{3{y}_{1}+5{y}_{2}}{4}）^{2}={r}^{2}$；
根據(jù)${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}={r}^{2}，{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}={r}^{2}$上面式子整理得：${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{3}{5}{r}^{2}$；
由方程（1）得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16}{25}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4-9{r}^{2}}{25}$；
∴y₁y₂=$\frac{16}{9}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{8}{9}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{4}{9}$=$\frac{4}{25}-\frac{16}{25}{r}^{2}$；
∴$\frac{4-9{r}^{2}}{25}+\frac{4}{25}-\frac{16}{25}{r}^{2}=-\frac{3}{5}{r}^{2}$；
解得${r}^{2}=\frac{4}{5}$；
∴${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{44}{2{5}^{2}}$；
原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}=\frac{2}{5}$，|AB|=$\sqrt{（1+\frac{16}{9}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{5}{3}\sqrt{\frac{1{6}^{2}+44×4}{2{5}^{2}}}=4\sqrt{3}$；
∴${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×\frac{2}{5}=\frac{4\sqrt{3}}{5}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{3}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查直線(xiàn)的斜率公式，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，向量坐標(biāo)的加法及數(shù)乘運(yùn)算，韋達(dá)定理，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，弦長(zhǎng)公式．