Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{lnx}$．g（x）=ax+1．
（1）若a=2，設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），求h（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)分別為f′（x），g′（x），若?x₁、x₂∈（1，e²]，f（x₁）≤f′（x₂）-g′（x₂）成立．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出a=2時，h（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間；令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（2）分別求出f（x）的最小值，令h（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$-a，求出h（x），判斷單調(diào)性即可得到h（x）的最大值，再由題意可得f（x）的最小值不大于h（x）的最大值，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（1）若a=2，則h（x）=f（x）+g（x）=$\frac{x}{lnx}$+2x+1，
h′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$+2=$\frac{（2lnx-1）（lnx+1）}{（lnx）^{2}}$，
當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時，h′（x）＞0，h（x）在（$\sqrt{e}$，+∞）遞增；
當(dāng)1＜x＜$\sqrt{e}$時，h′（x）＜0，h（x）在（1，$\sqrt{e}$）遞減．
則有h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（$\sqrt{e}$，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，$\sqrt{e}$）；
（2）f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，g′（x）=a，
當(dāng)1＜x＜e時，f′（x）＜0，f（x）在（1，e）遞減；
當(dāng)e＜x≤e²時，f′（x）＞0，f（x）在（e，e²]遞增．
則有x=e，f（x）取得最小值，且為$\frac{e}{lne}$=e．
令h（x）=f′（x）-g′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$-a，
h′（x）=$\frac{1}{x}$•$\frac{2-lnx}{（lnx）^{3}}$，當(dāng)1＜x≤e²時，h′（x）＞0，h（x）在（1，e²]遞增，
則有x=e²，h（x）取得最大值，且為$\frac{1}{4}$-a，
由?x₁、x₂∈（1，e²]，f（x₁）≤f′（x₂）-g′（x₂）成立，
可得e≤$\frac{1}{4}$-a，
解得a≤$\frac{1}{4}$-e．
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{1}{4}$-e]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，同時考查不等式成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查運算化簡能力，屬于中檔題和易錯題．