Question

6．3名男生，4名女生排成一排，問(wèn)：
（1）3名男生不相鄰，有多少種排法？
（2）甲、乙、丙、丁四人必須站在一起，且甲在乙的左邊（不一定相鄰），有多少種排法？
（3）甲不在最左邊，乙不在最右邊，有多少排法？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，用插空法分2步進(jìn)行分析：①、先將4名女生排好，排好后有5個(gè)空位，②、在5個(gè)空位中，任選3個(gè)，安排3名男生，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（2）根據(jù)題意，用捆綁法分析：①、將甲、乙、丙、丁四人看成一個(gè)整體，計(jì)算可得四人之間的順序，②、將這個(gè)整體與剩余的3個(gè)人進(jìn)行全排列，可得其排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①、若甲在最右邊，將剩余的6人全排列即可，②、若甲不在最右邊，分別求出甲、乙以及剩余5人的排法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目，綜合2種情況，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、先將4名女生排好，有A₄⁴=24種情況，排好后有5個(gè)空位，
②、在5個(gè)空位中，任選3個(gè)，安排3名男生，有A₅³=60種情況，
則共有24×60=1440種排法，
∴3名男生不相鄰有1440種排法；----------------------（4分）
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、將甲、乙、丙、丁四人看成一個(gè)整體，
由于甲在乙的左邊（不一定相鄰），則四個(gè)人之間的順序有$\frac{1}{2}$A₄⁴=12種情況，
②、將這個(gè)整體與剩余的3個(gè)人進(jìn)行全排列，有A₄⁴=24種排法，
則共有12×24=288種排法，
故甲、乙、丙、丁四人必須站在一起，且甲在乙的左邊（不一定相鄰）有288種排法；----------------------（8分）
（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①、若甲在最右邊，有A₆⁶=720種排法，
②、若甲不在最右邊，
甲在5個(gè)位置中選1個(gè)，有A₅¹種情況，
乙也有5個(gè)位置可選，有A₅¹種情況，
剩下的5個(gè)人進(jìn)行全排列，有A₅⁵種情況，
此時(shí)一共有A₅¹×A₅¹×A₅⁵=3000種排法，
則共有720+3000=3720種排法，
∴甲不在最左邊、乙不在最右邊有3720種排法．---------------------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的運(yùn)用，需要牢記常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法，如不相鄰問(wèn)題用插空法，相鄰問(wèn)題用捆綁法．