Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-$\frac{2}{3}$與x=1時都取得極值，求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求出f′（x），因為函數(shù)在x=-$\frac{2}{3}$與x=1時都取得極值，所以得到f′（-$\frac{2}{3}$）=0且f′（1）=0聯(lián)立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導(dǎo)函數(shù)的正負得到函數(shù)的增減區(qū)間．

解答 解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{12}{9}$-$\frac{4}{3}$a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
解得，a=-$\frac{1}{2}$，b=-2．
f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-$\frac{2}{3}$，1）．

點評 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，比較基礎(chǔ)．