Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+ln$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）若f（x）有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當-1＜a≤2時，討論函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）有兩個極值點，等價于方程f'（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實根，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）分類討論，結合函數(shù)的定義域，利用導數(shù)的正負，得出f（x）的單調性，利用f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點，即可證得出結論．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}+（1-a）x-lnx$，
$f'（x）=ax+（1-a）-\frac{1}{x}=\frac{{a{x^2}+（1-a）x-1}}{x}=\frac{（x-1）（ax+1）}{x}，x＞0$，…（2分）
f（x）有兩個極值點等價于方程f'（x）=0在（0，+∞）上有兩個不等的實根，
等價于  $\left\{{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a≠0}\\{-\frac{1}{a}＞0}\\{-\frac{1}{a}≠1}\end{array}}\right.$，解得-1＜a＜0，即為所求的實數(shù)a的取值范圍．…（5分）
（Ⅱ）（1）當-1＜a＜0時，$-\frac{1}{a}＞1$，$f'（x）=\frac{{a（x-1）（x+\frac{1}{a}）}}{x}，x＞0$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f'（x）＜0}\end{array}}\right.$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-1）（x+\frac{1}{a}）＞0}\end{array}}\right.$，解得$0＜x＜1或x＞-\frac{1}{a}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f'（x）＞0}\end{array}}\right.$得，$\left\{{\begin{array}{l}{x＞0}\\{（x-1）（x+\frac{1}{a}）＜0}\end{array}}\right.$，解得$1＜x＜-\frac{1}{a}$，
從而f（x）在（0，1）、$（-\frac{1}{a}，+∞）$上遞減，在$（1，-\frac{1}{a}）$上遞增，…（7分）$f{（x）_{極小值}}=f（1）=1-\frac{1}{2}a＞1＞0$，…（8分）$f（-\frac{4}{a}）=4+\frac{4}{a}-ln（-\frac{4}{a}）=\frac{4（a+1）}{a}-ln（-\frac{4}{a}）$，因為-1＜a＜0，所以$\frac{a+1}{a}＜0$，又$-\frac{4}{a}＞4$，所以$ln（-\frac{4}{a}）＞0$，從而$f（-\frac{4}{a}）＜0$．…（10分）
又f（x）的圖象連續(xù)不斷，故當-1＜a＜0時，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點．…（11分）
（2）當a≥0時，因為x＞0，所以ax+1＞0，則當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．從而f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，$f{（x）_{min}}=f（1）=1-\frac{1}{2}a$．…（12分）
①若0≤a＜2，則f（x）_min＞0，此時f（x）的圖象與x軸無交點．…（13分）
②若a=2，則f（x）_min=0，f（x）的圖象與x軸有且僅有一個交點．…（14分）
綜上可知，當-1＜a＜0或a=2時，函數(shù)f（x）有且僅有一個零點；當0≤a＜2時，函數(shù)f（x）無零點．…（15分）

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．