Question

（2011•寧波模擬）數(shù)列{a_n} 中，a₁=

1

2

，前n項和S_n滿足Sn+1-Sn=(

1

2

)n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列數(shù)列{a_n} 的通項公式a_n，以及前n項和S_n；
（2）b_n=log

1

2

an，求數(shù)列{a_n•b_n} 的前n項的和T_n．

Answer 1

分析：（1）分析題意可知是由s_n求a_n故需利用a_n與s_n的關(guān)系：當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1來求解同時需驗證a₁=1是否也滿足上式．當a_n求出后分析它的特征然后決定采用什么方法求前n項和．
（2）由b_n=log

1

2

an，根據(jù)（1）數(shù)列{a_n} 的通項公式a_n，可求出數(shù)列{a_n•b_n} 的通項公式，進而求出數(shù)列{a_n•b_n} 的前n項的和T_n．

解答：解：（1）∵S_n滿足S_n+1-S_n=(

1

2

)n+1（n∈N^*）．
∴a_n=(

1

2

)n+1（n∈N^*）．
a_n=(

1

2

)n（n≥2，n∈N^*）．
又∵n=1時，a₁=

1

2

，
∴a_n=(

1

2

)n（n∈N^*）．
∴S_n=1-(

1

2

)n（n∈N^*）．
（2）由（1）中a_n=(

1

2

)n（n∈N^*）．
∴b_n=log

1

2

an=n
∴a_n•b_n=n•(

1

2

)n（n∈N^*）
∴T_n=1•

1

2

+2•

1

2

²+3•

1

2

³+…+n•(

1

2

)n③
2T_n=1•

1

2

⁰+2•

1

2

¹+3•

1

2

²+…+n•(

1

2

)n-1④
由③-④得：
-T_n=-1-（

1

2

¹+

1

2

²+…+(

1

2

)n-1）+n•(

1

2

)n=-2+（n+2）(

1

2

)n
∴T_n=2-（n+2）(

1

2

)n

點評：本題主要考查由前n 項和的遞推公式求數(shù)列通項公式，及用錯位相減求和法求T_n，屬中檔題．