Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式：f（x+1）＜f（）．

Answer 1

解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則-x₂∈[-1，1]．又f（x）是奇函數(shù)，于是
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
=•（x₁-x₂）．
據(jù)已知＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：
，解得，
故不等式的解集為{x|-2≤x＜-}．
分析：（1）任取x₁、x₂兩數(shù)使x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，進而根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)推知f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂），讓f（x₁）+f（-x₂）除以x₁-x₂再乘以x₁-x₂配出的形式，進而判斷出f（x₁）-f（x₂）與0的關(guān)系，進而證明出函數(shù)的單調(diào)性．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)知：進而可解得x的范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用．在解題時要利用好單調(diào)性和奇偶性的定義．