設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知方程f(x)=c(c為常數(shù))有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2
(i)若c=0,求滿足條件的最小正整數(shù)a的值;
(ii)求證:f′(
x1+x2
2
)>0.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)對a分類討論,利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出;
(2)由(1)可得,若函數(shù)f(x)有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2,則a>0,且f(x)的最小值f(
a
2
)<0,
即-a2+4a-4aln
a
2
<0.得出h(a)=a+4ln
a
2
-4>0.利用單調(diào)性判斷其零點所處的最小區(qū)間即可得出;
(3))由x1,x2是方程f(x)=c得兩個不等實數(shù)根,則
x
2
1
-(a-2)x1-alnx1=c,
x
2
2
-(a-2)x2-alnx2=c
兩式相減,得出a=
x
2
1
+2x1-
x
2
2
-2x2
x1+lnx1-x2-lnx2
,換元,再利用導(dǎo)數(shù)即可證明.
解答: 解:(1)f′(x)=
(2x-a)(x+1)
x
(x>0)

當a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞)
當a>0時,由f'(x)>0得x>
a
2
;由f'(x)<0得0<x<
a
2

∴函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(
a
2
,+∞)
,單調(diào)減區(qū)間為(0,
a
2
)

(2)由(1)可得,若函數(shù)f(x)有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2
則a>0,且f(x)的最小值f(
a
2
)<0,
即-a2+4a-4aln
a
2
<0.
∵a>0,∴a+4ln
a
2
-4>0.
令h(a)=a+4ln
a
2
-4,可知h(a)在(0,+∞)上為增函數(shù),且h(2)=-2,h(3)=4ln
3
2
-1=ln
81
16
-1>lne-1=0,
所以存在零點h(a0)=0,a0∈(2,3),
當a>a0時,h(a)>0;當0<a<a0時,h(a)<0.
所以滿足條件的最小正整數(shù)a=3.
又當a=3時,f(3)=3(2-ln3)>0,f(1)=0,∴a=3時,f(x)由兩個零點.
綜上所述,滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3.
(3)∵x1,x2是方程f(x)=c的兩個不等實根,不妨設(shè)0<x1<x2
x
2
1
-(a-2)x1-alnx1=c,
x
2
2
-(a-2)x2-alnx2=c

兩式相減得
x
2
1
-(a-2)x1-alnx1-(
x
2
2
-(a-2)x2-alnx2)=0
,
a=
x
2
1
+2x1-
x
2
2
-2x2
x1+lnx1-x2-lnx2
,
又∵f′(
a
2
)=0
,當x>
a
2
時f'(x)>0;
當 0<x<
a
2
時f'(x)<0
故只要證明
x1+x2
2
a
2
即可,
即證x1+x2
x
2
1
+2x1-
x
2
2
-2x2
x1+lnx1-x2-lnx2

即證明:ln
x1
x2
2x1-2x2
x1+x2
,
設(shè)t=
x1
x2
(0<t<1)

g(t)=lnt-
2t-2
t+1
,
g′(t)=
(t-1)2
t(t+1)2
≥0

g(t)=lnt-
2t-2
t+1
在(0,+∞)為增函數(shù),
又∵g(1)=0,
∴t∈(0,1)時,g(t)<0總成立,得證.
點評:本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等基礎(chǔ)知識,及其分類討論思想方法、等價轉(zhuǎn)化方法、換元法等基本技能與方法.
練習(xí)冊系列答案
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1
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x2
a2
+
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b2
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2
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Sn
a
 
n
+2
和an的等比中項.
(1)證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)證明:
1
2
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
<1;
(3)設(shè)集合M={m|m=2k,k∈Z,且1000≤k<1500,若存在m∈M,使對滿足n>m的一切正整數(shù)n,不等式2Sn-4200>
a
2
n
2
恒成立,試問:這樣的正整數(shù)m共有多少個?

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