Question

如圖，AB是半徑為3的圓O的直徑，P是圓O上異于A，B的一點(diǎn)Q是線段AP上靠近A的三等分點(diǎn)，且

AQ

•

AB

=4，則

BQ

•

BP

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓

分析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P（3cosα，3sinα），由Q是線段AP上靠近A的三等分點(diǎn)，求出Q的坐標(biāo)，由

AQ

•

AB

=4得到cosα=-

1

3

，再求

BQ

•

BP

，化簡整理，即可得到結(jié)果．

解答： 解：如圖以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
則圓O：x²+y²=9，設(shè)P（3cosα，3sinα），
A（-3，0），B（3，0），
由

AQ

=

1

2

QP

，得到Q（-2+cosα，sinα），

AQ

=（1+cosα，sinα），

AB

=（6，0），

AQ

•

AB

=4即有6（1+cosα）=4，則cosα=-

1

3

，
則

BQ

•

BP

=（-5+cosα，sinα）•（3cosα-3，3sinα）
=（-5+cosα）•（3cosα-3）+3sin²α
=-18cosα+15+3cos²α+3sin²α=18-18cosα
=18-18×（-

1

3

）=24．
故答案為：24

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．