Question

已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點是坐標原點，點P（2，4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線上的三點．
（Ⅰ）求該拋物線的方程；
（Ⅱ）若直線PA與PB的傾斜角互補，求線段AB中點的軌跡方程；
（Ⅲ）若AB⊥PA，求點B的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出拋物線的方程，把點P代入拋物線求得p則拋物線的方程可得，進而求得拋物線的準線方程．
（II）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，則可分別表示k_PA和k_PB，根據(jù)傾斜角互補可知k_PA=-k_PB，
設(shè)AB的中點坐標為（x，y），則 y=

y1+y2

2

=-4，x=

x1+ x2

2

=

y12 8 + y22 8

2

，使用基本不等式求得x＞2，得到AB中點
的軌跡方程為  y=-4 （ x＞2 ）．
（III）由題意得 A（

y12

8

，y₁）、B（

y22

8

，y₂），故k_AP =

y1-4

y12 8 -2

=

8

y1+4

，由于AB⊥AP，∴k_AB =-（

y1+4

8

）．
又 K_AB=

y2-y1

y22 8 - y12 8

=

8

y2+y1

，化簡可得 y₁²+（y₂+4）y₁+4y₂+64=0．由△≥0，解得y₂≤-12或y₂≥20，
從而得到點B的縱坐標的取值范圍．

解答：解：（I）由已知條件，可設(shè)拋物線的方程為y²=2px，
∵點P（2，4）在拋物線上∴4²=2p×2，得p=4，
故所求拋物線的方程是y²=8x．
（II）設(shè)直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB
則 kPA=

y1-4

x1-2

(x1≠1)，kPB=

y2-4

x2-1

(x2≠1)，
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，∴k_PA=-k_PB．
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線上，得y₁²=8x₁ （1），y₂²=8x₂ （2），
∴

y1-4

1 8 y12-2

=-

y2-4

1 8 y22-2

，∴y₁+4=-（y₂+4），∴y₁+y₂ =-8．
設(shè)AB的中點坐標為（x，y），則 y=

y1+y2

2

=-4，x=

x1+ x2

2

=

y12 8 + y22 8

2

=

(y1+y2)2-2y1y2

16

 
=

64-2 y1y2

16

． 由題意知，y₁＜0，y₂＜0，
（-y₁）+（-y₂）=8＞2

y1y2

，∴y₁y₂＜16，∴

64-2y1y2

16

＞

64-2×16

16

=2，即 x＞2，
故線段AB中點的軌跡方程為  y=-4 （ x＞2 ）．
（III）由題意得 A（

y12

8

，y₁）、B（

y22

8

，y₂），故k_AP =

y1-4

y12 8 -2

=

8

y1+4

，
由于AB⊥AP，∴k_AB =-（

y1+4

8

）．又 K_AB=

y2-y1

y22 8 - y12 8

=

8

y2+y1

，
∴y₁²+（y₂+4）y₁+4y₂+64=0．
由△≥0，解得y₂≤-12或y₂≥20，故點B的縱坐標的取值范圍是 （-∞，12]∪[20，+∞）．

點評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．常需借助韋達定理和判別式來解決問題．