Question

【題目】已知，如圖四棱錐中，底面為菱形，，，平面，E，M分別是BC，PD中點，點F在棱PC上移動.

（1）證明無論點F在PC上如何移動，都有平面平面；

（2）當直線AF與平面PCD所成的角最大時，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)易證得,,即證得平面,進而證得結論.

(2) 以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立坐標系,設,根據(jù)向量法求出線面成角的正弦值,求出取最大值時的參數(shù),依次求出法向量即可得出結果.

（1）連接AC.

底面ABCD為菱形，，

是正三角形，是BC中點，

，又，

，又平面，

平面，，

又，平面，

又平面，

平面平面.

（2）由（1）知，AE，AD，AP兩兩垂直，

以AE，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

易知：，，，，，，

，，

而

且，

設平面PCD的法向量，

，取，

.根據(jù)題意，

線面角

當時，最大，

此時F為PC的中點，即，

，，.

設平面AEF的法向量為，

平面AEM的法向量為，

，解得，

同理可得，

，

所以二面角的平面角的余弦值為.