Question

【題目】已知，為兩非零有理數(shù)列（即對任意的，，均為有理數(shù)），為一個無理數(shù)列（即對任意的，為無理數(shù)）．

（1）已知，并且對任意的恒成立，試求的通項公式；

（2）若為有理數(shù)列，試證明：對任意的，恒成立的充要條件為；

（3）已知，，試計算．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)不等式可得，把代入即可解出

（2）根據(jù)化簡，利用為有理數(shù)即可解決

（3）根據(jù)題意可知，本題需分為奇數(shù)和偶數(shù)時討論，通過求出．

（1）∵，∴，即，

∴，

∵，∴，∴．

（2）∵，∴，

∴，

∵，，為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，

∴，∴，以上每一步可逆．

（3），∴．

∵，∴，

當(dāng)時，∴

當(dāng)時，∴，∴為有理數(shù)列，

∵，∴，

∴，

∵，，為有理數(shù)列，為無理數(shù)列，

∴，∴，

∴

當(dāng)時，∴

當(dāng)時，∴，

∴．