Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，．

（1）求最小的正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，恒有；

（2）求證：對(duì)任意的正整數(shù)，恒有．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）已知條件是數(shù)列的遞推式，比較復(fù)雜，在證明時(shí)，可先計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，如．想象即歸納出結(jié)論數(shù)列是遞減數(shù)列，從而的最小值為1，因此只要證明，可用數(shù)學(xué)歸納法證（2）

證明；（2）由（1）可得數(shù)列是單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列．，這樣右邊的證明較方便，只要重新放縮可得，

，從而，左邊不等式的證明較難，左邊先放縮為，從而，左右同除得：，即，利用累加法求（其中求和，可用裂項(xiàng)相消或錯(cuò)位相減法求得），可證明不等式．

試題解析：（1）由于，，，

由此我們可以猜想為單調(diào)遞減數(shù)列，因此我們猜測(cè)的最小值為1，下面我們證明．

，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，從而．

，由于，且當(dāng)時(shí)，有

從而對(duì)任意的，恒有，又由于，從而所求的最小正實(shí)數(shù)．

（說(shuō)明：若用數(shù)學(xué)歸納法證明，也同樣給滿分）

事實(shí)上，由于，假設(shè)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，

考慮到，從而，．

從而，

從而由數(shù)學(xué)歸納法原理得：對(duì)任意的，恒有．

又由于，從而所求的最小正實(shí)數(shù)．

（2）由于，則，

從而數(shù)列是單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列．

一方面，，從而

另一方面，，從而，

左右同除得：，即

設(shè)

（也可利用錯(cuò)位相減法求解，兩式相減得

，從而

）

從而由，得，

當(dāng)時(shí)，

從而，即，

即當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，從而對(duì)任意的，恒有．

綜上所示，對(duì)任意的正整數(shù)，恒有．