已知點(diǎn)O（0，0），A（-2，a）（a∈R是常數(shù)），動(dòng)點(diǎn)P滿足
PO
•
PA
=3．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡；
（2）若直線l：x+2y-2=0上有且僅有一點(diǎn)Q，使
QO
•
QA
=3，求常數(shù)a的值；并求此時(shí)直線l與直線OA夾角的余弦值．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）設(shè)P（x，y），則
PO
=(-x，-y)，
PA
=(-2-x，a-y)，再利用數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（2）設(shè)P（x，y），由
QO
•
QA
=3，可得-x（-2-x）+（-y）（a-y）=3．與直線l的方程聯(lián)立，利用△=0即可解出．再利用向量夾角公式即可得出．
解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），則
PO
=(-x，-y)，
PA
=(-2-x，a-y)，
由
PO
•
PA
=3得-x（-2-x）+（-y）（a-y）=3，
即(x+1)2+(y-
a
2
)2=4+
1
4
a2，
∵4+
1
4
a2＞0，∴點(diǎn)P的軌跡為圓．
（2）設(shè)P（x，y），由
QO
•
QA
=3，可得-x（-2-x）+（-y）（a-y）=3．
與直線l的方程聯(lián)立可得：
-x(-2-x)+(-y)(a-y)=3
x+2y-2=0

化為（2y-2）（2y-4）+y2-ay-3=0，
化為5y2-（a+12）y+5=0，
依題意，△=[-（a+12）]2-4×5×5=0，
解得a=-2或a=-22．
直線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M（2，0），N（0，1），
MN
=(-2，1)．）
直線l與直線OA夾角的余弦值cosθ=
|
MN
•
OA
|
|
MN
|•|
OA
|
=
|a+4|
5
×
a2+4
，
a=-2時(shí)，cosθ=
10
10
；
a=-22時(shí)，cosθ=
9
610
610
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、直線與拋物線相切轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△=0、向量夾角公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：?x0＞0，lnx0＜0．則￢p為（　�。�
A、?x＞0，lnx≥0
B、?x≤0，lnx≥0
C、?x0＞0，lnx0≥0
D、?x0≤0，lnx0＜0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C1的參數(shù)方程為
x=2cosφ
y=2sinφ
（φw為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sin（θ+
π
3
）．
（Ⅰ）將圓C1的參數(shù)方程化為普通方程，將圓C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程；
（Ⅱ）圓C1，C2是否相交？請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，拋物線y=1-x2與x軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開墾的土地，現(xiàn)計(jì)劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業(yè)用地，其中A、B在拋物線上，C、D在x軸上．已知工業(yè)用地每單位面積價(jià)值為3a元（a＞0），其它的三個(gè)邊角地塊每單位面積價(jià)值a元．
（Ⅰ）求等待開墾土地的面積；
（Ⅱ）如何確定點(diǎn)C的位置，才能使得整塊土地總價(jià)值最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，設(shè)Tn=a1
C
0
n
+a2
C
1
n
+a3
C
2
n
+…+an
C
n-1
n
+an+1
C
n
n
（n∈N*）．
（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且公差d=2，求Tn；
（2）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比q=2．
①求Tn；
②用數(shù)學(xué)歸納法證明：Tn＞n2+2n（n∈N*，n≥2）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD中（圖1），E是BC的中點(diǎn)，DB=2，DC=1，BC=
5
，AB=AD=
2
，將（圖1）沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60°（如圖2）
（1）求證：AE⊥平面BDC；
（2）求直線AE與平面ADC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，在一輪比賽中，甲、乙各射擊一發(fā)子彈．已知甲擊中目標(biāo)的概率為
4
5
，乙擊中目標(biāo)的概率為
3
4
，設(shè)甲、乙兩人的射擊相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求甲、乙兩人都擊中目標(biāo)的概率；
（Ⅱ）求甲、乙兩人中恰有一人擊中目標(biāo)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a和b是任意非零實(shí)數(shù)．
（1）求
|2a+b|+|2a-b|
|a|
的最小值．
（2）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線x=
π
6
是函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜
π
2
）圖象的一條對(duì)稱軸，則函數(shù)f（x）在[0，π]上的遞減區(qū)間為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案