Question

如圖所示，拋物線y=1-x²與x軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開墾的土地，現(xiàn)計劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊ABCD作為工業(yè)用地，其中A、B在拋物線上，C、D在x軸上．已知工業(yè)用地每單位面積價值為3a元（a＞0），其它的三個邊角地塊每單位面積價值a元．
（Ⅰ）求等待開墾土地的面積；
（Ⅱ）如何確定點C的位置，才能使得整塊土地總價值最大．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,定積分在求面積中的應用

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先由定積分可求等待開墾土地的面積；
（Ⅱ）進而可得工業(yè)用地面積，三個邊角地塊面積，由此可得土地總價值，利用導數(shù)的方法可求函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由

∫

1 -1

(1-x2)dx=(x-

1

3

x3)

.

1 -1

=

4

3

，
故等待開墾土地的面積為

4

3

…（3分）
（Ⅱ）設點C的坐標為（x，0），則點B（x，1-x²）其中0＜x＜1，
∴SABCD=2x(1-x2)…（5分）
∴土地總價值y=3a•2x(1-x2)+a[

4

3

-2x(1-x2)]
=4a•x(1-x2)+

4

3

a…（7分）
由y′=4a（1-3x²）=0得x=

3

3

或者x=-

3

3

(舍去)…（9分）
并且當0＜x＜

3

3

時，y′＞0，當

3

3

＜x＜1時，y′＜0
故當x=

3

3

時，y取得最大值．…（12分）
答：當點C的坐標為(

3

3

，0)時，整個地塊的總價值最大．…（13分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，解題的關鍵是利用定積分知識求面積，從而構(gòu)建函數(shù)，同時考查利用導數(shù)求最值，綜合性強．