Question

16．設(shè)x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²-2（k-1）+k²-4=0的兩個實數(shù)根，設(shè)y=x₁²+x₂²，試求關(guān)于k的函數(shù)y=f（k）的解析式，并作出它的圖象，指出其定義域和值域．

Answer 1

分析 根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系，可求出k的范圍，得到函數(shù)y=f（k）的定義域，利用韋達定理可得函數(shù)y=f（k）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的圖象和值域．

解答 解：∵x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²-2（k-1）+k²-4=0的兩個實數(shù)根，
∴△=4（k-1）²-4（k²-4）=-8k+16≥0，
解得：k≤2，
又∵x₁+x₂=2（k-1），x₁•x₂=k²-4，
∴y=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2k²-8k+12，
故函數(shù)y=f（k）的解析式為y=2k²-8k+12，k≤2，
其圖象如下圖所示：

其定義域為（-∞，2]，值域為[4，+∞）

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．