Question

4．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b∈N^*）的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，|OP|＜5，|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|成等比數(shù)列，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 通過等比數(shù)列的性質(zhì)和雙曲線的定義，余弦定理推出：|OP|²=20+3b²．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值，求出c，再由離心率公式計(jì)算即可得到．

解答 解：由題意，|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|成等比數(shù)列，
可知，|F₁F₂|²=|PF₁||PF₂|，
即4c²=|PF₁||PF₂|，
由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=4，即|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=16，
可得|PF₁|²+|PF₂|²-8c²=16…①
設(shè)∠POF₁=θ，則∠POF₂=π-θ，
由余弦定理可得：|PF₂|²=c²+|OP|²-2|OF₂||OP|cos（π-θ），
|PF₁|²=c²+|OP|²-2|OF₁||OP|cosθ，
|PF₂|²+PF₁|²=2c²+2|OP|²，…②，
由①②化簡(jiǎn)得：|OP|²=8+3c²=20+3b²．
因?yàn)閨OP|＜5，b∈N，所以20+3b²＜25．
所以b=1．
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，余弦定理以及等比數(shù)列的應(yīng)用，是一道綜合問題，考查分析問題解決問題的能力．