已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)D為橢圓C的右頂點,設(shè)A是橢圓上異于D的一動點,作AD的垂線交橢圓與點B,求證:直線AB過定點,并求出該定點的坐標.
分析:(1)由題設(shè)條件可知
解得
,由此能夠推導出橢圓C的標準方程.
(2)設(shè)l:y=kx+m,由方程組
消去y,得(3+4k
2)x
2+8kmx+4m
2-12=0,然后結(jié)合題設(shè)條件利用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解.
解答:解:(1)由題意設(shè)橢圓的標準方程為
+=1(a>b>0),
a+c=3,a-c=1,a=2,c=1,b
2=3,
∴
+=1.
(2)設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),l:y=kx+m,
由
,得:(3+4k
2)x
2+8mkx+4(m
2-3)=0,
△=64m
2k
2-16(3+4k
2)(m
2-3)>0,3+4k
2-m
2>0
x1+x2=-,x1•x2=.
y1•y2=(kx1+m)•(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.
∵AD⊥BD,k
AD•k
BD=-1,(或
•=0)
∴
•=-1,y
1y
2+x
1x
2-2(x
1+x
2)+4=0,
+++4=0,7m
2+16mk+4k
2=0,
解得
m1=-2k,m2=-,且滿足3+4k
2-m
2>0
當m=-2k時,l:y=k(x-2),直線過定點(2,0),與已知矛盾;
當
m=-時,
l:y=k(x-),直線過定點
(,0).
綜上可知,直線AB過定點,定點坐標為
(,0).
點評:本題綜合考查橢圓的性質(zhì)及應用和直線與橢圓的位置關(guān)系,具有較大的難度,解題時要注意的靈活運用.