Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，g（x）=bx-$\sqrt{x}$+2，其中a，b∈R，且ab=2，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是減函數(shù)，函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是增函數(shù)．
（1）求函數(shù) f（x），g（x）的表達(dá)式；
（2）若不等式f（x）≥mg（x）對(duì)x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，集合函數(shù)的單調(diào)性，分別求出其導(dǎo)數(shù)的最大值和最小值，得到a，b的范圍，從而求出a，b的值，求出函數(shù)的解析式；
（2）通過討論m的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出相對(duì)應(yīng)的函數(shù)的最值，進(jìn)而綜合求出m的范圍．

解答 解：（1）∵f′（x）=2x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-a}{x}$，
要使函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是減函數(shù)，
∴f′（x）_max=f′（1）=2-a≤0，
解得：a≥2①，
若函數(shù)g（x）在[$\frac{1}{4}$，1]上是增函數(shù)，
則g′（x）_min=g′（1）=b-$\frac{1}{2}$≥0，
即$\frac{2}{a}$-$\frac{1}{2}$≥0，解得：0＜a≤2②，
由①②得：a=2，b=1，
∴f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-$\sqrt{x}$+2；
（2）m=0時(shí)，不等式顯然成立，
當(dāng)m＞0時(shí)，在[$\frac{1}{4}$，1]上，f（x）減，g（x）增，
要不等式恒成立，則f（1）≥mg（1）即1≥2m，
∴0＜m≤$\frac{1}{2}$，
當(dāng)m＜0時(shí)，在[$\frac{1}{4}$，1]上，
有f（x）_min=f（1）=1＞（mg（x））_max=mg（$\frac{1}{4}$）=$\frac{7}{4}$m，
∴不等式恒成立，綜上：m的范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．