Question

（本題滿分12分）
如圖，在三棱柱中，側(cè)面，均為正方形，∠,點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，

所以,
所以平面，三棱柱是直三棱柱. 　　　………………1分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823170401168282.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以，　　　　　　　　　 ………………2分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823170401230465.gif" style="vertical-align:middle;" />，為中點(diǎn)，∴.             ……………3分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823170401308454.gif" style="vertical-align:middle;" />,
所以平面.      ……………4分
(Ⅱ)解： 因?yàn)閭?cè)面，均為正方形，，
所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標(biāo)系.
設(shè)，則.
，                            ………………9分
設(shè)平面的法向量為，則有
，， ，
取，得.                                 ………………10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/201408231704017451204.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面的法向量為，………11分因?yàn)槎�面�?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823170400996349.gif" style="vertical-align:middle;" />是鈍角，
所以，二面角的余弦值為.                ………………12分

略