Question

【題目】已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：且．

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．

（2）若，證明：對(duì)一切正整數(shù)n，都有

Answer 1

【答案】（1）證明見解析．（2）證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)所給遞推公式，將式子變形，即可由等差數(shù)列定義證明數(shù)列為等差數(shù)列.

（2）根據(jù)數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法求得通項(xiàng)公式，并變形后令.由求得的取值范圍，即可表示出，由不等式性質(zhì)進(jìn)行放縮，求得后，即可證明不等式成立.

（1）證明：各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足：

則，，

同取倒數(shù)可得，

所以，

由等差數(shù)列定義可知數(shù)列為等差數(shù)列．

（2）證明： 由（1）可知數(shù)列為等差數(shù)列．，

則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.

則，

令，

因?yàn)?/span>，

所以，

則，

所以，

所以

，

所以

由不等式性質(zhì)可知，若，則總成立，

因而，

所以

所以

不等式得證.