Question

下圖是利用計算機作圖軟件在直角坐標平面上繪制的一列拋物線和一列直線，在焦點為的拋物線列中，是首項和公比都為的等比數(shù)列，過作斜率2的直線與相交于和（在軸的上方，在軸的下方）.

證明：的斜率是定值；

求、、、、所在直線的方程；

記的面積為，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求所有這些三角形的面積的和.

 

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，整理成關于，的方程，進而求出的斜率；（2）利用直線的點斜式方程寫出直線方程即可；（3）聯(lián)立直線與拋物線方程，求弦長與點到直線的距離，進而求三角形的面積.

規(guī)律總結(jié)：錐曲線的問題一般都有這樣的特點：第一小題是基本的求方程問題，一般簡單的利用定義和性質(zhì)即可；后面幾個小題一般來說綜合性較強，用到的內(nèi)容較多，大多數(shù)需要整體把握問題并且一般來說計算量很大，學生遇到這種問題就很棘手，有放棄的想法,所以處理這類問題一定要有耐心..

試題解析：（1）由已知得，拋物線焦點，拋物線方程為，直線的方程為于是，拋物線與直線在軸上方的交點的坐標滿足則有

而直線的斜率為，則解得

又點在第一象限，則；

直線方程為；

由得則，

而到直線的距離為，

于是的面積，

所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.由于，

所以所有三角形面積和為.

考點：1.直線的方程；2.直線與拋物線的位置關系.