Question

5．己知函數(shù)f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x}^{2}$ （a∈R），
（Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ） 若函數(shù)f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a取值范圍；
（Ⅲ） 若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)分別為x₁，x₂求證：x₁x₂＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y+b=0列式求得a，b的值；
（Ⅱ）把f（x）≤0恒成立轉(zhuǎn)化為$a≥\frac{2lnx}{x}$恒成立，構(gòu)造函數(shù)$g（x）=\frac{2lnx}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案；
（Ⅲ）利用函數(shù)f（x）在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，得到ln（x₁x₂）=a（x₁+x₂）-2=$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（{x}_{1}+{x}_{2}）-2$．
再把證x₁x₂＞1轉(zhuǎn)化為證$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$．令$t=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$換元后再由導(dǎo)數(shù)證明．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=xlnx-$\frac{a}{2}{x}^{2}$，
得f′（x）=lnx-ax+1，
∵切線方程為x+y+b=0，
∴f′（1）=1-a=-1，即a=2．
又$f（1）=-\frac{a}{2}=-1$，可得切點(diǎn)為（1，-1），代入切線方程得b=0；
（Ⅱ） 解：f（x）≤0恒成立等價(jià)于$a≥\frac{2lnx}{x}$恒成立，即$a≥（\frac{2lnx}{x}）_{max}$，
設(shè)$g（x）=\frac{2lnx}{x}$，則${g}^{′}（x）=\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g′（x）＞0；
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0．
∴當(dāng)x=e時(shí)，$g（x）_{max}=\frac{2}{e}$，即$a≥\frac{2}{e}$； 
（Ⅲ）證明：若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，
即f′（x₁）=lnx₁-ax₁+1=0，f′（x₂）=lnx₂-ax₂+1=0，
即lnx₁+lnx₂-a（x₁+x₂）+2=0且lnx₁-lnx₂-a（x₁-x₂）=0．
也就是ln（x₁x₂）=a（x₁+x₂）-2=$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（{x}_{1}+{x}_{2}）-2$．
要證x₁x₂＞1，只要證$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（{x}_{1}+{x}_{2}）-2$＞0．
即證$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（{x}_{1}+{x}_{2}）＞2$，
不妨設(shè)x₁＞x₂，只要證$ln{x}_{1}-ln{x}_{2}＞\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$成立，
即證$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1）}{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+1}$．
令$t=\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞1$，即證$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$，
令h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，則${h}^{′}（t）=\frac{1}{t}-\frac{4}{（t+1）^{2}}=\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}＞0$．
∴h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（t）＞h（1）=0，原式得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．