Question

（普通文科做）已知f（x）=x³+bx²+9x+a有兩個(gè)極值點(diǎn)，求：
（1）b的取值范圍；
（2）當(dāng)x=1時(shí)，切線的斜率為0．求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意求導(dǎo)f′（x）=3x²+2bx+9，從而可得△=4b²-4×3×9＞0，從而求得；
（2）令f′（1）=3+2b+9=0解得b=-6；從而求得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+9x+a，
∴f′（x）=3x²+2bx+9，
又∵f（x）=x³+bx²+9x+a有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴△=4b²-4×3×9＞0，
解得，b＞3

3

或b＜-3

3

；
（2）由題意，f′（1）=3+2b+9=0，
解得b=-6；
故f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）；
故當(dāng)x＞3或x＜1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．