已知數(shù)列{an}中，對一切自然數(shù)n，都有an∈（0，1）且an•an+12+2an+1-an=0．求證：
（1）an+1Sn；
（2）若Sn表示數(shù)列{an}的前n項之和，則Sn＜2a1．
【答案】分析：（1）通過對已知等式變形分離出an，利用an∈（0，1），得到要證的不等式．
（2）由（1）先對前n項和放縮，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求和，得到要證的不等式．
解答：解：（1）由已知an•an+12+2an+1-an=0得，
又因為an∈（0，1），所以0＜1-an+12＜1，因此an＞2an+1，即（6分）

（2）由結(jié)論（1）可知，即，
于是=，
即Sn＜2a1（14分）
點評：證明不等式常用到通過放縮法得到要證的不等式，利用等比數(shù)列的前n項和公式注意判斷公比是否為1．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，則
lim
n→∞
an=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）求數(shù)列{
2n
an
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=
1
2
，Sn為數(shù)列的前n項和，且Sn與
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*），則
lim
n→∞
Sn=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，則數(shù)列{an}的通項公式為（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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