Question

已知奇函數(shù) f (x) 在 (－¥,0)∪(0,+¥) 上有意義，且在 (0,+¥) 上是增函數(shù)，f (1) = 0，又函數(shù) g(q) = sin ²q+ m cos q－2m，若集合M =" {m" | g(q) < 0}，集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0}，求M∩N.

Answer 1

 .

試題分析：根據(jù)條件中是奇函數(shù)的這一條件可以求得使的的范圍，再根據(jù)與的表達(dá)式，可以得到與的交集即是使恒成立的所有的全體，通過參變分離可以將問題轉(zhuǎn)化為求使恒成立的的取值范圍，通過求函數(shù)最大值，進(jìn)而可以求出的范圍.
依題意，，又在上是增函數(shù)，
∴在 上也是增函數(shù)，                  1分
∴ 由得或                 2分
∴ 或        3分
                                  4分
由得                     5分
即                                   6分
∴                7分
設(shè)，             9分
∵，                               10分
∴，                   11分
且                      12分
∴的最大值為            13分
∴               14分
另解：本題也可用下面解法：
1. 用單調(diào)性定義證明單調(diào)性
∵對(duì)任意 ，，，
∴，
即在上為減函數(shù)，
同理在上為增函數(shù)，得        5分
∴.
2. 二次函數(shù)最值討論
解：依題意，，又在上是增函數(shù)，
∴在 上也是增函數(shù)，  
∴由得或 
∴或，
                  4分
由得恒成立，
                            5分
設(shè)，   6分
∵，的對(duì)稱軸為         7分
1°當(dāng)，即 時(shí)，在為減函數(shù)，∴    9分
2°當(dāng)，即 時(shí)，
∴    11分
3°當(dāng)，即時(shí)，在為增函數(shù)，
∴無解                  13分
綜上，               14分
3. 二次方程根的分布
解：依題意，，又在上是增函數(shù)，
∴在 上也是增函數(shù)，   
∴ 由得或 
∴ 或，，
由得恒成立，
，
設(shè)，
∵，的對(duì)稱軸為，，                  7分
1°當(dāng)，即時(shí)，恒成立。       9分
2°當(dāng)，即或時(shí)，
由在上恒成立
∴               13分
綜上，               14分
4.用均值不等式（下學(xué)段不等式內(nèi)容）
∵，∴，
且，即時(shí)等號(hào)成立。
∴的最大值為.
∴.        5分