Question

（2013•長春一模）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+5）=16，當(dāng)x∈（-1，4]時(shí)，f（x）=x²-2^x，則函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

604

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Answer 1

分析：根據(jù)y=x² 與 y=2^x 的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間（-1，0]區(qū)間有一個(gè)交點(diǎn)，f（x）=x²-2^x=16無根，可得x∈（-1，4]時(shí)，f（x）=x²-2^x有3個(gè)零點(diǎn)，且x∈（-6，-1]時(shí)，f（x）=x²-2^x無零點(diǎn)，進(jìn)而分析出函數(shù)的周期性，分段討論后，綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：y=x² 與 y=2^x 的函數(shù)曲線在區(qū)間（0，4]有兩個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間（-1，0]區(qū)間有一個(gè)交點(diǎn)，
但當(dāng)x∈（-1，4]時(shí)，f（x）=x²-2^x=16無根
即當(dāng)x∈（-1，4]時(shí)，f（x）=x²-2^x有3個(gè)零點(diǎn)
由f（x）+f（x+5）=16，
即當(dāng)x∈（-6，-1]時(shí)，f（x）=x²-2^x無零點(diǎn)
又∵f（x+5）+f（x+10）=f（x）+f（x+5）=16，
∴f（x+10）=f（x），即f（x）是周期為10的周期函數(shù)，
在x∈[0，2013]，分為三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]
在x∈[0，4]函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
在x∈（4，2004]有200個(gè)完整周期，即有600個(gè)零點(diǎn)，
在x∈（2004，2013]共有兩個(gè)零點(diǎn)，
綜上函數(shù)f（x）在[0，2013]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是604
故答案為：604

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的零點(diǎn)，其中熟練掌握對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析出一個(gè)周期上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答的關(guān)鍵．