Question

（1）已知雙曲線上兩點(diǎn)P₁，P₂的坐標(biāo)分別為(3，-4

2

)，(

9

4

，5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）求一條漸近線方程是3x+4y=0，一個(gè)焦點(diǎn)是（4，0）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax²+By²=1（AB＜0），將兩點(diǎn)代入解方程即可得到所求方程；
（2）設(shè)雙曲線方程為：9x²-16y²=λ，由雙曲線有一個(gè)焦點(diǎn)為（4，0），則λ＞0，將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得a，b，c，解方程即可得到．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax²+By²=1（AB＜0），
將兩點(diǎn)(3，-4

2

)，(

9

4

，5)代入得：

9A+32B=1 81 16 A+25B=1

，
解得

A=- 1 9 B= 1 16

．
所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

16

-

x2

9

=1；
（2）設(shè)雙曲線方程為：9x²-16y²=λ，
∵雙曲線有一個(gè)焦點(diǎn)為（4，0），∴λ＞0，
雙曲線方程化為：

x2

λ 9

-

y2

λ 16

=1⇒

λ

9

+

λ

16

=16⇒λ=

482

25

，
∴雙曲線方程為：

x2

256 25

-

y2

144 25

=1．

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程的求法，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，考查漸近線方程與雙曲線方程的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．