Question

6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=3a，c=2，則當(dāng)角A取最大值時，△ABC的面積為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 運用余弦定理和基本不等式，求出最小值，注意等號成立的條件，再由面積公式，即可得到．

解答 解：由于b=3a，c=2，
由余弦定理，可得，
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9{a}^{2}+4-{a}^{2}}{12a}$
=$\frac{1}{3}$（2a+$\frac{1}{a}$）≥$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2a•\frac{1}{a}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，cosA取得最小值$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，A取得最大值．
則面積為$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•3a•2sinA=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{1-\frac{8}{9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查余弦定理和三角形面積公式的運用，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．