Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a是常數(shù)，a∈R．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點-處的切線P（1，f（1））的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：函數(shù)f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，求出切點坐標(biāo)以及切線的斜率，然后求解切線方程．
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），以及導(dǎo)函數(shù)，通過（1）當(dāng)a=0時，（2）當(dāng)a≠0時，①當(dāng)a＜0時，②當(dāng)a＞0時，分別判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，推出單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）構(gòu)造F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，求出導(dǎo)函數(shù)，通過判斷函數(shù)的單調(diào)性求出最大值小于0即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-a…（2分），
f（1）=-a+1，k_l=f'（1）=1-a，
所以切線l的方程為y-f（1）=k_l（x-1），即y=（1-a）x． …（5分）
（Ⅱ）f（x）定義域為（0，+∞）…（7分）
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$
（1）當(dāng)a=0時，$f'（x）=\frac{1}{x}＞0$，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，…（9分）
（2）當(dāng)a≠0時，
令$\frac{1-ax}{x}=0$得，x=0或$x=\frac{1}{a}$
①當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)
②當(dāng)a＞0時，f（x）在$（{0，\frac{1}{a}}）$上是增數(shù)，在$（{\frac{1}{a}，+∞}）$是減函數(shù)   …（11分）
（Ⅲ）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，
則$F'（x）=\frac{1}{x}-1\;=\frac{1}{x}（1-x）\;，解F'（x）=0得x=1$．…（13分）

x	（0，1）		（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

F（1）＜0，所以?x＞0且x≠1，F(xiàn)（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函數(shù)y=f（x）（x≠1）的圖象在直線l的下方．…（16分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．