Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n滿足：S_n=2n-a_n，n∈N^*
（Ⅰ）計算a₁、a₂、a₃、a₄的值，并猜想a_n的表達式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（Ⅰ）直接由已知結(jié)合數(shù)列遞推式計算a₁、a₂、a₃、a₄的值，并猜想a_n的表達式；
（Ⅱ）由數(shù)列遞推式得到an=

1

2

an-1+1（n≥2），然后構造等比數(shù)列{a_n-2}，由等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=2n-a_n，得S₁=2-a₁，即a₁=1．
S₂=a₁+a₂=4-a₂，解得a2=

3

2

．
S₃=a₁+a₂+a₃=6-a₃，解得a3=

7

4

．
S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=8-a₄，解得a4=

15

8

．
猜想：an=

2n-1

2n-1

．
（Ⅱ）由S_n=2n-a_n，得
S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2）．
兩式作差得，an=

1

2

an-1+1（n≥2）．
即an-2=

1

2

(an-1-2)(n≥2)．
∴數(shù)列{a_n-2}是以-1為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an-2=-(

1

2

)n-1，
即an=2-(

1

2

)n-1．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了歸納猜想思想方法，是中檔題．