Question

10．已知$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，點A（2，2）在橢圓上，且AF₂與x軸垂直，過A作直線與橢圓交于另一點于B，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

分析 由題意，要使△AOB面積最大，則B到OA所在直線距離最遠，求出和OA平行且和橢圓相切的直線方程，把切點到直線OA的距離轉化為原點O到切線的距離，則三角形AOB面積的最大值可求．

解答 解：由題意可得，B為橢圓上除（$2，\sqrt{2}$），（-2，-$\sqrt{2}$）外的點．
要使△AOB面積最大，則B到OA所在直線距離最遠，
設與OA平行的直線方程為$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y并化簡得${x}^{2}+\sqrt{2}bx+^{2}-4=0$．
由$△=（\sqrt{2}b）^{2}-4（^{2}-4）=0$，解得b=±$2\sqrt{2}$．
不妨取b＞0，
∴與直線OA平行，且與橢圓相切且兩直線方程為：$y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$．
化為一般式得：$\sqrt{2}x-2y+4\sqrt{2}=0$．
則B到直線OA的距離等于O到直線$\sqrt{2}x-2y+4\sqrt{2}=0$的距離，等于$\frac{|4\sqrt{2}|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（-2）^{2}}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
又|OA|=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{6}$．
∴△AOB面積的最大值為$S=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了直線和圓錐曲線的位置關系，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，訓練了點到直線的距離公式的應用，是中檔題．