Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=ax³-x+1（x∈R），若對于任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，2]
• B． [0+∞）
• C． [0，2]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 對x討論，當(dāng)x=0，當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=ax³-3x+1≥0可化為：aa≥$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，設(shè)g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可求出a≥0；x∈[-1，0）時，求出a≤2，由此可得a的取值范圍．

解答 解：若x=0，則不論a取何值，f（x）≥0都成立；
當(dāng)x＞0即x∈（0，1]時，f（x）=ax³-x+1≥0可化為：
a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，則g′（x）=$\frac{3-2x}{{x}^{4}}$，
所以g（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
因此g（x）_max=g（1）=0，從而a≥0；
當(dāng)x＜0即x∈[-1，0）時，f（x）=ax³-x+1≥0可化為：a≤$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$，則g′（x）=$\frac{3-2x}{{x}^{4}}$，
g（x）在區(qū)間[-1，0）上單調(diào)遞增，
因此g（x）_min=g（-1）=2，
從而a≤2，
則0≤a≤2．
即有實數(shù)a的取值范圍為[0，2]．
故選：C．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．