Question

函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a＞0）
（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[

a

，+∞)上是增函數(shù)；
（2）試通過研究函數(shù)f（x）的基本性質(zhì)，猜想并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并指出增減性（無需證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論．（2）觀察函數(shù)可知，其為奇函數(shù)，且由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

a

)上是減函數(shù)，從而寫出其單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）證明：任取x1，x2∈[

a

，+∞)，且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=x1+

a

x1

-(x2+

a

x2

)=x1-x2+

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)，
∵

a

≤x1＜x2，
∴x₁x₂＞a＞0，即

a

x1x2

＜1，
又∵x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

a

，+∞)上是增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在區(qū)間[

a

，+∞)上是增函數(shù)，
同理可得，函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

a

)上是減函數(shù)；
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間(-∞，-

a

]上是增函數(shù)，在區(qū)間(-

a

，0)上是減函數(shù)；
綜上所述，函數(shù)f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函數(shù)，在(-

a

，0)和(0，

a

)上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的證明，一般有兩種方法，定義法，導(dǎo)數(shù)法，同時(shí)考查了函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．