Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（1）若f（x）≥a對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）≥a對(duì)x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若f（x）≥a對(duì)x∈[-2，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用△=a²-4（3-a）≤0，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）（3）將二次函數(shù)進(jìn)行配方，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解，要使不等式f（x）≥0恒成立，則只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于等于0即可．

解答 解：設(shè)函數(shù)h（x）=x²+ax+3-a，
（1）∵f（x）≥a對(duì)x∈R恒成立，
∴△=a²-4（3-a）≤0，
∴-2≤a≤6；
（2）在x∈[-1，1]時(shí)的最小值為g（a），
則①當(dāng)對(duì)稱軸x=-$\frac{a}{2}$＜-1，即a＞2時(shí)，g（a）=h（-1）=4-2a≥0，得a≤2，又a＞2，此時(shí)不成立．
②當(dāng)-$\frac{a}{2}$∈[-1，1]時(shí)，即-2≤a≤2時(shí)，g（a）=3-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，得-6≤a≤2，故此時(shí)-2≤a≤2．
③當(dāng)-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2時(shí)，g（a）=h（1）=4≥0，成立，此時(shí)a＜-2．
 綜上：a≤2．
（3）在x∈[-2，1]時(shí)的最小值為F（a），
則①當(dāng)對(duì)稱軸x=-$\frac{a}{2}$＜-2，即a＞4時(shí)，F(xiàn)（a）=h（-2）=7-3a≥0，得a≤$\frac{7}{3}$，又a＞4，此時(shí)不成立．
②當(dāng)-$\frac{a}{2}$∈[-2，1]時(shí)，即-2≤a≤4時(shí)，F(xiàn)（a）=3-a-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，得-6≤a≤2，故此時(shí)-2≤a≤2．
③當(dāng)-$\frac{a}{2}$＞1，即a＜-2時(shí)，F(xiàn)（a）=h（1）=4≥0，成立，此時(shí)a＜-2．
 綜上：a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要注意分別討論對(duì)稱軸和區(qū)間之間的關(guān)系確定函數(shù)的最小值．