Question

已知關(guān)于x的方程：x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）有實(shí)數(shù)根b．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值．
（2）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足|

.

Z

-a-bi|-2|z|=0，求z為何值時(shí)，|z|有最小值，并求出|z|的值．

Answer 1

分析：（1）復(fù)數(shù)方程有實(shí)根，方程化簡(jiǎn)為a+bi=0（a、b∈R），利用復(fù)數(shù)相等，即

a=0 b=0

解方程組即可．
（2）先把a(bǔ)、b代入方程，同時(shí)設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi，化簡(jiǎn)方程，根據(jù)表達(dá)式的幾何意義，方程表示圓，
再數(shù)形結(jié)合，求出z，得到|z|．

解答：解：（1）∵b是方程x²-（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的實(shí)根，
∴（b²-6b+9）+（a-b）i=0，
∴

b2-6b+9=0 a=b

解之得a=b=3．
（2）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），由|

.

Z

-3-3i|=2|z|，
得（x-3）²+（y+3）²=4（x²+y²），
即（x+1）²+（y-1）²=8，
∴z點(diǎn)的軌跡是以O(shè)₁（-1，1）為圓心，2

2

為半徑的圓，如圖所示，
如圖，

當(dāng)z點(diǎn)在OO₁的連線(xiàn)上時(shí)，|z|有最大值或最小值，
∵|OO₁|=

2

，
半徑r=2

2

，
∴當(dāng)z=1-i時(shí)．
|z|有最小值且|z|_min=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題（1）考查復(fù)數(shù)相等；（2）考查復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合的思想方法．
是有一定難度的中檔題目．