【題目】設(shè)f(x)=loga(1+x)+loga(3﹣x)(a>0,a≠1)且f(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定義域;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.
【答案】(1)a=2,定義域為(﹣1,3);(2)最大值為f(1)=2,最小值為f(0)=log23.
【解析】
(1)根據(jù),代值計算即可求得,再根據(jù)真數(shù)大于零,求得函數(shù)定義域;
(2)先求解的值域,再據(jù)此求函數(shù)的值域.
(1)由題意知,,
解得﹣1<x<3;
故f(x)的定義域為(﹣1,3);
再由f(1)=2得,
loga(1+1)+loga(3﹣1)=2;
故a=2.
綜上所述:函數(shù)定義域為,.
(2)f(x)=log2(1+x)(3﹣x),
∵x[0,],
∴(1+x)(3﹣x)[3,4],
故f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值為f(1)=2;
f(x)在區(qū)間[0,]上的最小值為f(0)=log23.
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【題目】已知橢圓,橢圓以的長軸為短軸,且兩個橢圓的離心率相同,設(shè)O為坐標原點,點A、B分別在橢圓、上,若,則直線AB的斜率k為( ).
A.1B.-1C.D.
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【題目】某健康社團為調(diào)查居民的運動情況,統(tǒng)計了某小區(qū)100名居民平均每天的運動時長(單位:小時)并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)分為六個小組(所調(diào)查的居民平均每天運動時長均在內(nèi)),得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出圖中的值,并估計這名居民平均每天運動時長的平均值及中位數(shù)(同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點值代替);
(2)為了分析出該小區(qū)居民平均每天的運動量與職業(yè)、年齡等的關(guān)系,該社團按小組用分層抽樣的方法抽出20名居民進一步調(diào)查,試問在時間段內(nèi)應(yīng)抽出多少人?
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【題目】一個三位數(shù),個位、十位、百位上的數(shù)字依次為x,y,z,當且僅當y>x,y>z時,稱這樣的數(shù)為“凸數(shù)”(如243),現(xiàn)從集合{1,2,3,4}中取出三個不相同的數(shù)組成一個三位數(shù),則這個三位數(shù)是“凸數(shù)”的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是棱長為2的正方形,E為AD的中點,以CE為折痕把△DEC折起,使點D到達點P的位置,且點P的射影O落在線段AC上.
(1)求;
(2)求幾何體P﹣ABCE的體積.
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【題目】已知函數(shù) 的一段圖像如圖所示.
(1)求此函數(shù)的解析式;
(2)求此函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】已知拋物線C:經(jīng)過點,其焦點為F,M為拋物線上除了原點外的任一點,過M的直線l與x軸、y軸分別交于A,B兩點.
Ⅰ求拋物線C的方程以及焦點坐標;
Ⅱ若與的面積相等,證明直線l與拋物線C相切.
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【題目】在直角坐標系內(nèi),已知是以點為圓心的圓上的一點,折疊該圓兩次使點分別與圓上不相同的兩點(異于點)重合,兩次的折痕方程分別為和,若圓上存在點,使得,其中點、,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若在處的切線與直線平行,求的值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)的圖象與軸交于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標為,證明.
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