（08年銀川一中二模）（12分） 已知某幾何體的三視圖如下圖所示，其中左視圖是邊長為2的正三角形，主視圖是矩形且AA1=3，設D為AA1的中點。

   （1）作出該幾何體的直觀圖并求其體積；

   （2）求證：平面BB1C1C⊥平面BDC1；

   （3）BC邊上是否存在點P，使AP//平面BDC1？若不存在，說明理由；若存在，證明你的結(jié)論。

解析：（1）解：由題意可知該幾何體為直三棱柱，直觀圖略。

∵幾何體的底面積                …………3分

   （2）證明：連結(jié)B1C交BC1于E點，則E為BC1、B1C的中點，連結(jié)DE。

∵AD=A1D，AB=A1C1，∠BAD=∠DA1C1=90°

∴△ABD≌△DA1C1，∴BD=DC1，

∴DE⊥BC1。                                                                                     …………5分

同理DE⊥B1C

又∵B1C∩BC1=E，∴DE⊥面BB1C1C，

又∵DE面BDC1，∴面BDC1⊥面BB1C1C                                         …………7分

   （3）解：取BC的中點P，連結(jié)AP，則AP∥平面BDC1                      

證明：連結(jié)PE，則PE平行且等于AD，

∴四邊形APED為平行四邊形，∴AP∥DE，又DE平面BDC1，AP平面BDC1，

∴AP∥平面BDC1.                                 …………12分

練習冊系列答案
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