Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）²（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞3時，在區(qū)間[-1，0]上是否有實數(shù)k使不等式f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），對任意的x∈R恒成立，若存在，求出k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率f′（2）=-5．再利用點斜式即可得出；
（II）令f′（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．列出表格研究函數(shù)的大小，即可得出極值；
（III）假設(shè)在區(qū)間[-1，0]上存在實數(shù)k滿足題意．由a＞3，得

a

3

＞1，由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，當(dāng)k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R），再利用二次函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）當(dāng)a=1時，f（x）=-x（x-1）²=-x³+2x²-x，得f（2）=-2，
且f′（x）=-3x²+4x-1，∴f′（2）=-5．
∴曲線y=-x（x-1）²在點（2，-2）處的切線方程是y+2=-5（x-2），
整理得5x+y-8=0．
（Ⅱ）解：f（x）=-x（x-a）²=-x³+2ax²-a²x，
∴f′（x）=-3x²+4ax-a²=-（3x-a）（x-a）．
令f′（x）=0，解得x=

a

3

或x=a．
由于a＞0，當(dāng)x變化時，且f′（x）的正負(fù)如下表：

x	(-∞， a 3 )	a 3	( a 3 ，a)	a	（a，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-

因此，函數(shù)f（x）在x=

a

3

處取得極小值f(

a

3

)，且f(

a

3

)=-

4

27

a3；
函數(shù)f（x）在x=a處取得極大值f（a），且f（a）=0．
（Ⅲ）假設(shè)在區(qū)間[-1，0]上存在實數(shù)k滿足題意．
由a＞3，得

a

3

＞1，由（Ⅱ）知，f（x）在（-∞，1]上是減函數(shù)，
當(dāng)k∈[-1，0]時，k-cosx≤1，k²-cos²x≤1．
要使f（k-cosx）≥f（k²-cos²x），x∈R
只要k-cosx≤k²-cos²x（x∈R）
即cos²x-cosx≤k²-k（x∈R）①
設(shè)g(x)=cos2x-cosx=(cosx-

1

2

)2-

1

4

，則函數(shù)g（x）在R上的最大值為2．
要使①式恒成立，必須k²-k≥2，即k≥2或k≤-1．
∴在區(qū)間[-1，0]上存在k=-1，使得f（k-cosx）≥f（k²-cos²x）對任意的x∈R恒成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線方程，考查了二次函數(shù)與余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論、分離參數(shù)的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．